Можно ли около четырехугольника вписать окружность, если его углы последовательно относятся к 5:7:8:9

"Около 4-угольника вписать окружность" - очень крутая фраза. Думаю, что Вы имели в виду около 4-угольника описать окружность; на этом и остановимся. Известно, что если около 4-угольника можно описать окружность, то суммы противоположных углов равны 180°. Если же углы относятся как 5:7:8:9, то первый угол меньше второго, третий меньше четвертого ⇒сумма первого и третьего будет меньше суммы второго и четвертого. А как написано выше, сумма первого и третьего должна равняться сумме второго и четвертого.

Ответ: нельзя