Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна 41 см. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через цент окружности, вписанной в ее основание. б) Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см.

А) Пусть высота пирамиды - РО, а высоты боковых граней РА1, РВ1, РС 1.

ОА1 - проекция РА1, поэтому ОА1 ⊥ ВС. Значит OA1 - расстояние от точки О до BC. Аналогично ОВ1 и ОС1 - расстояние от точки О до АС и AB соответственно. Но по теореме Пифагора:

аналогично ОА1 и ОС1 равны 9 см. Но это и означает, что О - центр вписанной окружности. б) Площадь треугольника S вычисляется через радиус r вписанной окружности и полупериметр p последующей формуле:S=p*r