Может ли быть, что AD и CK -  биссектрисы треугольника ABC и AK: KB=1:2, BD : DC=3:4?

Биссектриса делит сторону, к которой она проведена, на отрезки пропорциональные сторонам своего угла.

Значит в вашем треугольнике АС: АВ = 4:3, а АС: ВС = 1:2. То есть AB:CB = 3:8.

Треугольников с отношением сторон 3:4:8 не бывает, потому что нарушается принцип неравенства треугольника: 3 + 4 < 8