Доказать что выпуклый многоугольник с неравными углами должен иметь 1 тупой угол (док-во от противного)

Когда-то а решала эту задачу. Слава богу, училка её не проверила!

Я написала так, как поняла. Не гарантирую, что это правильно.

1) Допустим, что в выпуклом многоугольнике нет ни одного тупого угла. 2) Сумма внешних углов равна 360 градусов, следовательно всего может быть только 3 тупых угла, равных 91 градусу (91 умножить на 3 будет 273 градуса). Следовательно получим противоречие, следовательно в выпуклом многоугольнике есть один и более тупых углов.

Ч. т. д.

Для треугольника утверждение неверно, например, можно рассмотреть треугольник с углами 70, 60, 50 градусов.

Предположим, что во многоугольнике (число углов больше 3) нет ни одного тупого угла. Тогда каждый угол не превосходит 90 градусов, а сумма всех n углов меньше 90n (все углы, кроме, быть может, одного, являются острыми).

Сумма углов n-угольника равна 180 (n-2), тогда 180 (n-2) <90n, откуда 2 (n-2)