Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, делят его угол на части, градусные меры которых относятся

как 4:7:4. Найдите углы треугольника

Угол между медианой и высотой равен 7x, а два других угла в тройке при вершине - по 4x. Тогда два других угла треугольника равны 90° - 4x и 90° - 11x;

Если обозначить медиану m, а обе половинки стороны, к которой она проведена, буквой c (то есть вся сторона равна 2c), то из теоремы синусов для обоих треугольников, на которые медиана делит исходный треугольник, следует

m/c = sin (90° - 4x) / sin (11x) = cos (4x) / sin (11x) ;

m/c = sin (90 ° - 11x) / sin (4x) = cos (11x) / sin (4x) ;

откуда сразу следует sin (8x) = sin (22x) ; или sin (7x) * cos (15x) = 0;

легко видеть, что по смыслу задачи 7x < 180°; то есть sin (7x) не равен 0;

то есть остается cos (15x) = 0;

опять таки, по смыслу задачи, весь угол при вершине, из которой выходят высота и медиана, как раз и равен 15x; единственное осмысленное решение, таким образом, соответствует случаю, когда этот угол прямой - только в этом случае косинус угла равен 0; более старшие решения геометрически невозможны.

отсюда x = 6; и углы треугольника 90; 24; 66;