1) Периметр треугольника АБС равен 18, его углы А и Б связаны соотношением: 2 (сosА + cosБ) = 3+2cos (А+Б).

Найти площадь треугольника, стороны которого равны биссектрисам треугольника АБС.

A + B = 180° - C,

cos (A + B) = cos (180 - C) = - cos C.

Данное равенство переписывается так:

cos A + cos B + cos C = ³⁄₂. (1)

Докажем, что из (1) следует A = B = C = 60°.

Для произвольного треугольника

cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A - B), (2)

cos ½ (A + B) = cos ½ (180° - C) = cos (90° - ½C) = sin ½C. (3)

Равенство (3) показывает, что cos ½ (A + B) - положительная величина, поэтому из (2) следует, что

cos A + cos B ≤ 2 cos ½ (A + B) = 2 sin ½C.

Следовательно,

cos A + cos B + cos C ≤ 2 sin ½C + cos C = 2 sin ½C + 1 - 2 sin² ½C =

= - 2 (sin ½C - ½) ² + ³⁄₂.

Значит, для любого треугольника

cos A + cos B + cos C ≤ ³⁄₂,

причём равенство достигается при sin ½C = ½, cos ½ (A - B) = 1, т. е. при A = B = C = 60°.

Итак, треугольник ABC правильный. Сторона равна 18/3 = 6. Биссектрисы (они же высоты и медианы) все три равны 3√3. Площадь (правильного) треугольника из них равна

¼√3 (3√3) ² = ²⁷⁄₄√3.