Вывести второй закон ньютона в дифференциальной форме

Версия 1

F = ma

m - это маса тела

а - это ускорение движения тела, векторная величина

F - равнодействующая сила, действующая на тело, векторная величина

ускорение движения тела - это скорость изменения скорости движения тела. То есть - это производная от скорости движения тела по времени:

a = dv/dt

v - скорость движения тела, векторная величина

F = ma = m * dv/dt

поскольку масса - скалярная величина (число), то по свойствам дифференциала m * dv = d (m*v)

а произведение массы тела на скорость его движения - это импульс тела р, векторная величина:

d (m*v) = dp

F = ma = m * dv/dt = d (m*v) / dt = dp/dt

имеем второй закон Ньютона в дифференциальной форме

версия 2:

F = ma

m - это маса тела

а = a (t) - это ускорение движения тела, векторная функция от времени (вектор, каждая координата которого - это функция, которая зависит от времени)

F = F (t) - равнодействующая сила, действующая на тело, векторная функция от времени (вектор, каждая координата которого - это функция, которая зависит от времени)

ускорение движения тела - это скорость изменения скорости движения тела. То есть - это производная от скорости движения тела по времени:

a = v'

t - время

v = v (t) - скорость движения тела, векторная функция от времени (вектор, каждая координата которого - это функция, которая зависит от времени)

F = ma = m * v'

поскольку масса - скалярная величина (число), то по свойствам производной m * v' = (m*v) '

(производная от векторной функции - вектор из производных от функций-координат векторной функции, а производная от функции имеет похожее свойство)

а произведение массы тела на скорость его движения - это импульс тела р = p (t), векторная величина:

(m*v) ' = p'

F = ma = m * v' = (m*v) ' = p'

имеем второй закон Ньютона в дифференциальной форме