какое наименьшее значение может принять выражение 3a2+4ab+4b2+4a+3

Наименьшее? Я думаю, что 3.

Можно выделить полный квадрат ... квадрат любого числа - - - число неотрицательное, т. е. наименьшее его значение ноль ...

3a2+4ab+4b2+4a+3 = 4b^2 + 4ab + a^2 + 2a^2 + 4a + 3 =

(2b + a) ^2 + 4a^2 - 2a^2 + 4a + 3 =

(2b + a) ^2 + (2a + 1) ^2 - 2a^2 + 2 = (2b + a) ^2 + (2a + 1) ^2 - 2 * (a^2 - 1)

(2b + a) ^2 - - - меньше 0 быть не может

(2a + 1) ^2 - - - меньше 0 быть не может

(a^2 - 1) - - - меньше (-1) быть не может

Итог: (-2) * (-1) = 2