Показать, что множества X = (1; 3) и Y=[-1; 2] равномощны, по теореме Кантора-Бернштейна.

Множества A и B называются равномощными, если может быть установлено взаимно однозначное соответствие между элементами множества A и элементами множества B.

(то есть каждому элементу множества A можно поставить в соответствие один и только один элемент множества B, а каждому элементу множества B можно поставить в соответствие один и только один элемент множества A.)

Покажем, что множества равномощны по теореме Кантора-Бернштейна, т. е. покажем, что найдется X₁⊆X такое, что X₁⇒Y, и найдется У₁

Y₁⊆Y такое, что Y₁⇒X.

X ₁ = (1; 3) Y₁ = [-1; 2]

установим биекцию

f: X ₁⇒Y такую что f (x) = x-1, очевидно что f (x) ∈Y

установим биекцию

f: Y ₁⇒X такую что f (y) = (3.5+y) / 2, очевидно что f (y) ∈X

Значит множества равномощны

Теорема Кантора - Бернштейна (первая формулировка).

Если множество A равномощно некоторому подмножеству множества B, а множество B равномощно некоторому подмножеству множества A, то множества A и B равномощны.