Найдите остаток от деления суммы 33 в 33 степени+77 в 77 степени от 5

Итак, представим числа 33 и 77 в виде суммы десятков и единиц:

33=30+3, 77=70+7.

Мы видим, что 33^33+77^77 = (30+3) ^33 + (70+7) ^77=30^33+3^33+70^77+7^77 ...

Т. к. 30 и 70 в любой целой положительной степени делятся на 5, акцентировать внимание мы будем лишь на степенные 3 и 7.

Считать степень слишком долго, да и числа неудобные получатся, поэтому прибегнем к хитрости ...

Будем возводить каждое число на 1 степень и смотреть как изменяется последняя цифра. Сначала число 3 ...

3^1=3

3^2=9

3^3=27

3^4=81

3^5=243 ...

Мы замечаем, что последняя цифра у 3^1 и 3^5 совпадает. Следовательно, это закономерность: последние цифры в степенях тройки будут 3, 9, 7, 1, а дальше они повторяются. Т. е. каждые 4 степени повторяются степени. Делим степень (33) на число разных последних цифр (4) и получаем 8, остаток 1. Обращаем внимание на остаток, ведь 8 - это число повторений ... Т. к. остаток - 1, смотрим на первую цифру в нашей закономерности ... Это 3. Позже сложим её с цифрой от 7 ... Таким же образом находим закономерность последних цифр у степеней семёрки: 7, 9, 3, 1.

77:4 = 19 (ост. 1). Следовательно, первая цифра. Это 7. Теперь складываем 7 и 3 и делим их на 5.

(7+3) / 5=10/5=2 (ост. 0). Делаем вывод, что сумма 33^33 и 77^77 при делении на 5 дает остаток 0.