В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузе AB выбрана точка E так, что AC=CE. Биссектрисы CL и EK треугольника BCE пересекаются в точке I. Известно, что треугольник IKC равнобедренный. Найдите CL:AB

Положим что CAB=a, тогда из условия CEA=a.

Выразим углы CIM, CKI через a, ACE=180-2a, так как ACB=90, то BCE=90 - (180-2a) = 2a-90, CL-биссектриса, значит EC=KCI=BCE/2=a-45, аналогично CEL=CEB/2 = (180-CEA) / 2=90 - (a/2), значит CIK=ECI+CEI=45 + (a/2), откуда CKI=180 - (3a/2).

То есть углы в треугольнике IKC равны

I=a/2+45, C=a-45, K=180 - (3a/2)

По условию IKC равнобедренный, значит надо проверить три условия равенства углов

1) I=C

2) C=K

3) I=K

Подходит только I=K (решая уравнения), откуда a=135/2

Найдём угол CLK=180 - (a-45+180-a) = 45. Получаем

AC/sin45=CL/sina

CL/AB=AC*sina / (AB*sin45) = 2*cosa*sina/sqrt (2) = sin (2a) / sqrt (2) = sin135/sqrt (2) = 1/2

Ответ CL/AB=1/2