Докажите неравенство

(a^3*b^3) / 2 = ((a+b) / 2) ^3

(a^3-b^3) (a-b) ≥ 3ab (a-b) ^2

(a³-b³) (a-b) - 3ab (a-b) ² ≥ 0

преобразуем левую часть неравенства, вынося (a-b) за скобки:

(a-b) (a-b) (a²+ab+b²) - 3ab (a-b) ² =

(a-b) ² (a²+ab+b²-3ab) =

(a-b) ² (a-b) ² = (a-b) ^4 - выражение в чётной степени всегда число неотрицательное, следовательно (a-b) ^4 ≥ 0

(a-b) (a^2+ab+b^2) (a-b) >=3ab (a-b) ^2

(a-b) ^2 ((a^2-2ab+b^2) + 3ab) >=3ab (a-b) ^3

(a-b) ^2 ((a-b) ^2+3ab) >=3ab (a-b) ^2

(a-b) ^4+3ab (a-b) ^2>=3ab (a-b) ^2