Заменить данное число 4823/581 такой подходящей дробью, чтобы полученное при этом погрешность не превышала 0,001

4823/581=689/83.

Если фраза "подходящая дробь" подразумевает подходящие дроби цепной дроби числа, то

689/83=8+1 / (83/25)

83/25=3+1 / (25/8)

25/8=3+1/8, т. е. разложение в цепную дробь будет [8; 3,3,8]

Значит подходящие дроби будут 8/1,

8+1/3=25/3

8+1 / (3+1/3) = 83/10

и последняя 8+1 (3+1 / (3+1/8)) = 689/83

Т. к. 689/83-83/10=1/830>0,001, то нужная по условию задачи подходящая дробь будет равна исходному числу 689/83. Погрешность в этом случае будет равна 0.

Если же слово "подходящая" подразумевает, "какая-нибудь отличающаяся от исходной" то берем, например, дробь 4823/581-1 / (581*2) = 9645/1162, которая дает погрешность 1 / (581*2) = 1/1162<0,001.