1002*1004^3-1003*1001^3

Докажите, что значение выражения является кубом натурального числа

Тема куб суммы и куб разности.

Обозначим 1002.5 = x, тогда выражение можно записать в виде

(x - 0.5) (x + 1.5) ^3 - (x + 0.5) (x - 1.5) ^3

Немного поупрощаем:

(x - 0.5) (x + 1.5) ^3 - (x + 0.5) (x - 1.5) ^3 = x * ((x + 1.5) ^3 - (x - 1.5) ^3) - 0.5 ((x + 1.5) ^3 + (x - 1.5) ^3) = x * 3 * ((x + 1.5) ^2 + (x^2 - 2.25) + (x - 1.5) ^2) - 0.5 * 2x * ((x + 1.5) ^2 - (x^2 - 2.25) + (x - 1.5) ^2) = 3x (3x^2 + 2.25) - x (x^2 + 3*2.25) = 9x^3 - x^3 = 8x^3 = (2x) ^3 = 2005^3