Найдите все значения параметра a такие, что неравенство

|9cos2x-6 (a-2) sinx+2a-4| ≤ 9

верно при всех значениях переменной x.

Используем формулу косинуса двойного угла cos2x=1-2sin²x и преобразуем неравенство к виду

|18sin²x+6 (a-2) sinx-2a-5|≤9 или - 9≤18sin²x+6 (a-2) sinx-2a-5≤9

Если неравенство должно быть выполнено для всех x, то значит в частности и для x=0 оно должно быть верным. Если x=0, то и sinx=0. Подставим 0 в неравенство:

-9≤18*0+6 (а-2) * 0-2 а-5≤9

-9≤2 а+5≤9

-7≤a≤2 - мы получили первое ограничение на а.

Пусть теперь x=π/2:

-9≤18+6 (a-2) - 2a-5≤9

-5/2≤a≤2 - мы еще больше ограничили множество возможных значений а, но это мало что дало.

А если x=3π/2?

Тогда - 9≤18-6 (a-2) - 2a-5≤9

2≤a≤17/4

Вот теперь повезло. В самом деле, если а2, то для x=0 и π/2, между тем нам надо чтобы оно выполнялось для любого x, а отсюда следует что подходит только а=2. Остается проверить эту двойку:

|9cos2x-6 (2-2) sinx+2*2-4| ≤ 9

9|cos2x|≤9

|cos2x|≤1

Очевидно, что неравенство верно для всех х, а значит двойка нам подходит. Ответ: а=2.

Вообще обычно такие примеры решаются более сложными методами. Здесь просто все сложилось удачно.