Доказать, что 1 в кубе + 2 в кубе+3 в кубе + ... + 9 в кубе не делится на 10

1^3+9^3 = (1+9) (1-9+81) делится на 10

2^3+8^3 = (2+8) (4-16+64) делится на 10

3^3+7^3 = (3+7) (9-21+49) делится на 10

4^3+6^3 = (4+6) (16-24+36) делится на 10

значит, 1^3+9^3 + 2^3+8^3+3^3+7^3 + 4^3+6^3 делится на 10.

Добавим недостающее 5 ^3. Оно на 10 не делится (это 125). Значит, вся сумма на 10 делиться не будет.