Доказать - 1<хy+yz+zt+tx<0, если x + y + z + t = 0 и x2 + y2 + z2 + t2 = 1 (''x2, y2, z2, t2'' обозначает x, y, z, t в квадрате)

xz+yt<=1/2 * (x^2+z^2) + 1/2 * (y^2+t^2) = 1/2 * (x^2+y^2+z^2+t^2) = 1/2*1=1/2

(x+z) ^2 + (y+t) ^2>=0

(x^2+z^2+2xz) + (y^2+2yt+t^2) >=0

x^2+y^2+z^2+t^2+2 (xz+yt) >=0

xz+yt>=-1/2

-1/2<=xz+yt<=1/2

x + y + z + t = 0

(x+y+z+t) ^2=0

x^2+y^2+z^2+t^2+2 (xy+yz+zt+tx+xz+yt) = 0

2 (хy+yz+zt+tx) = - (x^2+y^2+z^2+t^2) - 2 (xz+yt)

2 (хy+yz+zt+tx) = - 1+2 * (xz+yt)

2 (хy+yz+zt+tx) = - 1+2 * (xz+yt) <=-1+2*1/2=-1+1=0

хy+yz+zt+tx<=0

2 (хy+yz+zt+tx) = - 1+2 * (xz+yt) >=-1+2 * (-1/2) = - 1-1=-2

хy+yz+zt+tx>=-1

заметим что равенство 0 достигается например при x=y=0.5, z=t=-0.5

равенство 1 достигается например при x=z=0.5, y=t=-0.5