Как выводится формула нахождения вершины параболы x=-b/2a,

где x-координата х вершины параболы, a и b коэффициенты уравнения ax^2+bx+c?

Вершина параболы квадратного уравнения - это самая высокая или самая низкая ее точка.

Рассмотрим многочлен ax2 + bx + c, где a, b, c - коэффициенты, причем aне равно нулю. Его обычно называют квадратным трёхчленом, а графиком функции является парабола. Осью параболы y = ax2 + bx + c служит прямая x = - b/2a (1). По этой же формуле вычисляется абсцисса x0 вершины параболы. Формулу для нахождения ординаты y0 вершины параболы запоминать не нужно, так как если известна абсцисса, то всегда по формуле y0=f (x0) можно вычислить ординату.

Для х вершины параболы есть специальная формула: Х0 = - b/2a, где b - коэффициент перед х в формуле параболы (ax^2+bx+c) где а - коэффициент перед x^2, знак минус перед b говорит, что нужно поменять знак коэффициента, вставляя b в формулу (т. е дана такая парабола x^2+6x+5, значит вместо - b мы вставляем - 6) координата вершины параболы по оси y ищется проще. Полученное х0 подставляется вместо х в формуле параболы

1. Выведем формулу через производную:

y = ax² + bx + c

y' = 2ax + b + 0 = 2ax + b

2ax + b ≥ 0

2ax ≥ - b

Если a > 0, то x ≥ - b/2a, значит, x = - b/2a - точка минимума.

Как известно, в точке минимума функция принимает наименьшее значение.

Если a < 0, то x ≤ - b/2a, значит, x = - b/2a - точка максимума.

Как известно, в точке максимума функция принимает наибольшее значение.

2. Выделим полный квадрат:

y = ax² + bx + c

y = (ax² + bx) + c

y = a (x² + bx/a) + c

y = a (x² + 2bx/2a + b²/4a²) - b²/4a + c

y = a (x + b/2a) ² + (4ac - b²) / 4a

Квадратичную функцию можно представить в виде y = a (x - m) ² + l

В данном случае m = - b/2a, l = (4ac - b²) / 4a.

Если рассмотреть функцию y = a (x - m) ² + l, то понятно, что если a > 0, то при x = m функция будет принимать наименьшее значение, а если a < 0, то при x = m она будет принимать наибольшее значение.

Т. к. m = - b/2a, то при a > 0 и при x = - b/2a функция будет принимать наименьшее значение, при a < 0 и при x = - b/2a будет принимать наибольшее значение.