Докажите, что при любом натуральном n значение выражения.

1) 17 (n) - 1 кратно 16

2) 23 (2 n+1) + 1 кратно 24

3) 13 (2n+1) + 1 кратно 14

В скобках степень числа указана.

1) 17ⁿ - 1 = (17 - 1) (17ⁿ¯¹ + 17ⁿ¯² + 17ⁿ¯³ + ... + 17² + 17 + 1) = 16 (17ⁿ¯¹ + 17ⁿ¯² + 17ⁿ¯³ + ... + 17² + 17 + 1)

Т. к. один из множителей делится на 16, то и все выражение делится на 16.

2) 23²ⁿ+¹ + 1 = (23 + 1) (23²ⁿ - 23²ⁿ¯¹ + 23²ⁿ¯2 - ... + 23² - 23 + 1) = 24 (23²ⁿ - 23²ⁿ¯¹ + 23²ⁿ¯2 - ... + 23² - 23 + 1).

Т. к. один из множителей делится на 24, то и все выражение делится на 24.

3) 13²ⁿ+¹ + 1 = (13 + 1) (13²ⁿ - 13²ⁿ¯¹ + 13²ⁿ¯² - ... + 13² - 13 + 1) = 14 (13²ⁿ - 13²ⁿ¯¹ + 13²ⁿ¯² - ... + 13² - 13 + 1).

Т. к. один из множителей делится на 14, то и все выражение делится на 14.

1) (n+21) ^3 - (n+4) ^3 = (21+n-n-4) ((n+21) ^2 + (n+21) (n+4) + (n+4) ^2) =

17 ((n+21) ^2 + (n+21) (n+4) + (n+4) ^2) (значит делится)

) б) (n+48) ^3 - (n+7) ^3 кратно 41 аналогично раскладываем и получаем: 41 * ( ...) делится.

(n+3) ^3 - (n-3) ^3 кратно 18

=6 * (n^2+6n+9+n^2-9+n^2-6n+9) = 6 * (3n^2+9) = 18 * (n^2+3) Делится