Докажите, что n²+n+2 не делится на 15

15 = 3•5

Значит n (n+1) + 2 надо попытаться разделить и на 3, и на 5.

Признак делимости на 3: сумма цифр, из которых состоит число, должно делиться на 3.

Признак делимости на 5: делимое должно заканчиваться либо на 0, либо на 5.

n²+n+2 = n (n+1) + 2

Получается, что к произведению двух идущих подряд натуральных чисел прибавляется 2.

Чтобы в конце этой суммы получалось 5 либо 0, надо, чтобы

n (n+1) оканчивалось на 3 либо 8.

Но перебирая результаты n (n+1) получаем:

1•2=2

2•3=6

3•4=12

4•5=20

5•6=30

6•7=42

7•8•56

8•9 = 72

9•10 = 90

10•11 + 110

11•12=132

12•13=156

13•14 = 182

Уже видно, что произведение подряд идущих натуральных чисел всегда четное и заканчивается либо на 2, либо на 6, либо на 0.

Если к такому произведению прибавить 2, то полученная сумма никогда не заканчивается ни на 5, ни на 0.

Это означает, что n (n+1) + 2 не делится на 5, следовательно не делится и на 15.