Можно ли разложить 1000 орехов в 7 корзин, расставленных по кругу, так, чтобы в любых двух соседних корзинах число орехов отличалось на 1?

Нет, нельзя. Потому что в какой-то из соседних пар число орехов обязательно получится одновременно четным или одновременно нечетным.

Например, в первой - чет, второй - нечет, ... шестой - нечет, седьмой - чет. В первой и седьмой - чет, а они соседние. Или наоборот, в первой - нечет, второй - чет, ... шестой - чет, седьмой - нечет. А теперь в первой и седьмой - нечет, а они соседние ...