Докажите, что:

а) если функция монотонна на положительной части области определения, то она имеете противположный характер монотонности на отрицательно части области определения;

б) если нечётная функция монотонна на положительной части области определения, то оан имеет тот же характер монотонности на отрицательной части области определиния.

Комбинированные уравнения, в состав которых входит хотя бы одна неограниченная функция, следует попробовать решить, применив свойство монотонных функций.

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Если на области определения уравнения f (x) = g (x) функция f (x) возрастает (убывает), а функция g (x) убывает (возрастает), то тогда уравнение не может иметь более одного корня.

Можно сказать конкретнее и понятнее.

Если функция y = f (x) монотонно возрастает (убывает), а функция y = g (x) монотонно убывает (возрастает) на некотором промежутке и х - корень уравнения f (x) = g (x), то он единственный на этом промежутке.

Пример 1. Решить уравнение.

Решение.

Область определения уравнения - все положительные числа ().

Кстати, для учеников существует проблема в применении понятий область определения уравнения и область допустимых значений (ОДЗ) переменной х.

Аббревиатура ОДЗ приобрела самостоятельную жизнь и применяют ее, не понимая сути, иногда путая с допустимыми значениями функции. Любое уравнение можно привести к виду f (x) = 0 и считать уравнением частный случай функции у = f (x), когда она равна нулю. Область определения этой функции или допустимые значения переменной х - и есть область определения уравнения или область допустимых значений неизвестной переменной в этом уравнении.

Очевидно, что - корень уравнения.

Функция монотонно возрастает на всей области определения уравнения.

Функция монотонно убывает на всей области определения уравнения.

Следовательно, корень уравнения - единственный.

Ответ: 2.

Пример 2. Решить уравнение:.

Решение.

Область определения уравнения:.

Функция монотонно возрастает на всей области определения уравнения.

Функция монотонно убывает на всей области определения уравнения.

Определить, есть ли у этого уравнения корень, попробуем графически.

Построим графики функций в одной системе координат. Из построенного графика видно, что функции пересекаются в точке.

Проверим, является ли число 1,5 корнем данного уравнения.

Ответ: 1,5.

Пример 3. Решить уравнение:.

Решение.

Область определения уравнения:.

Функция монотонно убывает на всей области определения уравнения.

Координаты вершины параболы.

Квадратичная функция на области определения уравнения:

а) монотонно убывает при. Значения функции изменяются при этом на промежутке.

Значения функции

при меняются следующим образом:.

Уравнение на этом промежутке корней не имеет.

б) монотонно возрастает при. Очевидно, что

Значит х = 4 - единственный корень данного уравнения.

Ответ: 4.

Когда доказано, что функция в левой части уравнения монотонно возрастает (убывает), а в правой части - монотонно убывает (возрастает), то единственный корень уравнения, если он имеется, находят любым доступным способом.