Дана функция y (x) = (2x+1) / (3x-4). Найдите y (x+1)

1. Найти область определения функции

а) y=6/x-2

x-2 ≠ 0

x ≠ 2

D (f) = (- oo; 2) ∨ (2; + oo)

б) y=1/корень из 6-3x

6-3x > 0

-3x > - 6 | : (-3)

х < 2

D (f) = (- oo; 2)

в) y=корень из x^2-3x-4

x² - 3 x - 4 ≥ 0

x² - 3 x - 4 = 0

х1+х2 = 3

х1 х2 = - 4

х1 = - 1, х2 = 4

D (f) = (- oo; - 1) ∨ (4; + oo)

2. Дана функция y=f (x), где

f (x) = 2x+5, если - 2

(x-1) ² + 4, если 0< x

а) вычислите:f (-2), f (0), f (1), f (3)

f (-2) = 2 * (-2) + 5 = - 4 + 5 = 1

f (0) = 2 * 0 + 5 = 0 + 5 = 5

f (1) = (1-1) ² + 4 = 0 + 4 = 4

f (3) = (3-1) ² + 4 = 4 + 4 = 8

б) найдите D (f) и E (f)

D (f) = [ - 2; 4 ]

На промежутке [ - 2; 0 ] функция непрерывно возрастает, поэтому на этом промежутке f min = f (-2) = 1 и f max = f (0) = 5.

E (f) = [ 1; 5 ] на промежутке [ - 2; 0 ]

На промежутке (0; 4 ] функция y=f (x) является квадратичной.

Исследуем её график, для этого сначала определим координаты вершины параболы (х; y)

f (x) = (x-1) ² + 4 = х² - 2 х + 1 + 4 = х ² - 2 х + 5

По формуле координат вершины: х = - b / 2a = 2 / 2 = 1

y = f (1) = 1 ² - 2*1 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4

Итак, координаты вершины параболы (х; y) = (1; 4), а т. к. старший коэффициент квадратичной функции положителен, то ветви параболы направлены вверх, а значит на промежутке (0; 4 ] f min = f (1) = 4, а

f max = f (4) = 4² - 2*4 + 5 = 16 - 8 + 5 = 13.

E (f) = [ 4; 13 ] на промежутке (0; 4 ]

Значит на всей области определения E (f) = [ 1; 13 ]