Решить на множестве комплексных чисел

Уравнение 4 степени вида A*x⁴+B*x³+C*x²+B*x+A=0 называется возвратным. Данное уравнение как раз такое. Так как значение x=0 не является его решением, то уравнение можно разделить на z², и получится равносильное уравнение 9*z²-24*z-2-24/z+9/z²=

9 * (z²+1/z²) - 24 * (z+1/z) - 2=0. Положим y=z+1/z, тогда y²=z²+2+1/z², откуда

z²+1/z²=y²-2. Тогда уравнение примет вид 9 * (y²-2) - 24*y-2=9*y²-24*y-20=0. Дискриминант D = (-24) ²-4*9 * (-20) = 1296=36². Тогда y1 = (24+36) / 18=10/3, y2 = (24-36) / 18=-2/3. Таким образом, для нахождения z нужно решить 2 уравнения:

z+1/z=10/3

z+1/z=-2/3

Решаем первое уравнение. Умножив его на 3*z, получаем уравнение 3*z²+3=10*z, или 3*z²-10*z+3=0. Дискриминант D = (-10) ²-4*3*3=64=8². Тогда z1 = (10+8) / 6=3, z2 = (10-8) / 6=1/3.

Решаем второе уравнение. Умножив его на 3*z, получаем уравнение 3*z²+3=-2*z, или 3*z²+2*z+3=0. Дискриминант D = (2) ²-4*3*3=-32 = (i*√32) ², где i=√-1. Тогда z3 = (-2+i*√32) / 6=-1/3+i*√32/6, z4 = (-2-i * √32) / 6=-1/3-i * √32/6.

Ответ: z1=3, z2=1/3, z3=-1/3+i * √32/6, z4=-1/3-i*√32/6.