При каких значениях а функции у=ax^3-3x^2+2x убываетт на всей числовой прямой

Для анализа промежутков возрастания/убывания функции y (x) найдем ее производную:

y' (x) = 3ax^2-6x+2

Чтобы функция y (x) убывала на всей числовой прямой, необходимо, чтобы y' (x) < 0 для любых x.

y' (x) - парабола. Чтобы парабола полностью была ниже оси 0x, необходимо, чтобы она имела ветви, направленные вниз. То есть 3a<0. Или же a<0. При этом с осью 0x не должно быть точек пересечения. Это значит, что дискриминант квадратного трехчлена должен быть меньше 0.

D = (-6) ^2-4*3a*2=36-24a 24a>36, a>1.5.

Система неравенств a>1.5 и a<0 решений не имеет, поэтому функция y (x) ни при каких a не будет постоянно убывающей.