При каком наибольшем значении параметра a система уравнений имеет ровно три различных решения:

x^2 + (y-1) ^2=1

y=|x-a|

Первое уравнение - окружность с центром (0; 1) и радиусом 1

Второе уравнение - 2 разнонаправленных прямых

Нам нужно, чтобы правая прямая касалась окружности, а левая пересекала ее.

Зададим условие касания правой прямой.

x^2 + y^2 - 2y + 1 = 1 x^2 + y^2 - 2y = 0

y = x-a, y^2 = x^2 - 2ax + a^2

x^2 + x^2 - 2ax + a^2 - 2x + 2a = 0

2x^2 - x (2a+2) + a^2 + 2a = 0

D = (2a+2) ^2 - 8 (a^2+2a) = 4a^2 + 8a + 4 - 8a^2 - 16a = - 4a^2 - 8a + 4

D = 0 (условие касания)

a^2+2a-1=0 (сократили)

D = 4 + 4 = 8

a = (-2 + - sqrt (8)) / 2 = (-2 + - 2sqrt (2)) / 2 = sqrt (2) - 1