Комплексные числа

-

Найдите все числа z такие, что z (над ним черта) = z³

Пусть z=a+bi, тогда z сопряженное=a-bi;

По условию a-bi = (a+bi) 3;

Раскрыв скобки: a-bi=a3-3ab2+3a2bi-b3i;

a-bi=a3-3ab2+i (3a2b-b3) ;

Комплексные числа равны, если равны их вещественные и мнимые части.

a=a3-3ab2;

-b=3a2b-b3; в системе;

a (a2-3b2-1) = 0;

b (3a2-b2+1) = 0;

Если a=0, то b=0 или - b2+1=0; т. е. b=+-1;

Если a2-3b2-1=0 и b=0, то a2-1=0; т. е. a=+-1;

Если a2-3b2-1=0 и 3a2-b2+1=0;

то, сложив, 4a2-4b2=0;

a=b или a=-b;

Если a=b, то - 2b2-1=0, что невозможно;

Если a=-b, то получается то же самое;

В итоге ответ:

a b

0 0

0 1

0 - 1

1 0

-1 0. Ну и комплексные числа соответственные.