Разложите на множители 9^n-25^n

докажите что число n^3-n делится на 6

1) 9^n - 25^n = 3^ (2n) - 5^ (2n) = (3^n - 5^n) (3^n + 5^n)

2) докажите, что число n ³ - n делится на 6

Решение

при n = 2, имеем 8 - 2 = 6 утверждение верно.

Полагаем, что оно верно при n = m.

Покажем, что оно выполняется и при n = m + 1

(m+1) ² - (m+1) = m³ - m + 3m² + 3m

Первые два слагаемых делятся на 6 по предположению,

вторые делятся на 3, но m (m+1) число четное, т. к. четным является

либо m либо m+1, следовательно два вторых слагаемых тоже делятся на 6, а значит и вся сумма делится на 6. утверждение доказано