Найдите все пары натуральных чисел х, у таких, что 2 х+1 делится на у и 2 у+1 делится на х

Решение, построенное на другой идее. Начнем с глупого утверждения.

Глупое утверждение. x и y взаимно просты.

Доказательство. Пусть x и y делятся на d > 1. Но тогда 2x + 1 должно делиться на d, а на самом деле дает остаток 1.

Теперь можно перемножить сравнения, получим, что

(2x + 1) (2y + 1) делится на xy.

4xy + 2 (x + y) + 1 делится на xy

2 (x + y) + 1 делится на xy

Из последнего следует, что 2 (x + y) + 1 > = xy

xy - 2x - 2y < = 1

(x - 2) (y - 2) < = 5

Пусть для определенности x > = y. Тогда достаточно рассмотреть такие случаи:

1) y = 1. Тогда 3 делится на x, откуда x = 1 или x = 3.

2) y = 2. Тогда 5 делится на x, и единственная возможность для x - это x = 5. Проверка показывает, что это не решение: 11 не делится на 2.

3) y = 3. Тогда 7 делится на x, и единственная возможность для x - это x = 7. Проверка показывает, что это решение: 15 делится на 3.

4) y > = 4. Тогда x - 2 < = 5/2, т. е. x < = 4. Последнее невозможно в силу ограничений на x.

Ответ. (1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 7), (7, 3).

Из условия делимости n и k целые числа.

2x+1=yk

2y+1=xn

Очевидна нечетность 2x+1 и 2y+1 откуда n, k, x, y нечетные числа

Выразим: x = (yk-1) / 2

4y+2=2xn = (yk-1) n

4y+2=ykn-n

2+n=y (kn-4)

Из симетрии задачи:

2+k=x (nk-4)

Откуда 2+n делится на nk-4

и 2+k делится на nk-4

При k>7 n>7 2+n
Откуда: k<=7 n<=7 В силу нечетности k и n верно что k=1,3,5,7 n=1,3,5,7

1) При k=7 и k=5

Тогда если n>1 2+n< kn-4 Что невозможно тк меньшее число не делится на большее.

То возможно только n=1

k=7

2+n=kn-4

то y=2+n/kn-4=1

Подставим: 2+1=xn=x x=3

(3; 1) решение. в силу симетрии (1; 3) решение

k=5

при n=1

2+n=3

kn-4=1 y=3 1+6=nx x=7

(3; 7) решение

2) k=3

при n>3

2+n
если n=3

верно равенство

2+n=nk-4

y=1

Подставим: 2+1=nx=3x x=1

(1; 1) решение

n=2

n+2=4

nk-4=2

Делится то есть у=4/2=2

Подставим: 2*2+1=xn 5=2x x=5/2 невозможно.

n=1

n+2=3

kn-4=-1 невозможно тк x>0

3) Cамый замудренный вариант.

k=1 n+2 должно делится на n-4 y=n+2/n-4 = n-4+6/n-4=1+6/n-4

то есть n-4=1 n-4=2 n-4=3 n-4=6

То есть возможны варианты:

n=5 y=7 n=6 y=4 n=7 y=3 n=10 x=2

НО тк n<7 (при n=7 это и есть вариант (1; 3)) то возможны 1 два варианта

Подставим;

n=5 y=7

2*7+1=5x

15=5x

x=3 (7; 3) (3; 7) решение

n=6 y=4

9=6x Невозможно

Ответ: (1; 3), (3; 1), (1; 1), (7; 3), (3; 7)