Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета?

Если разложить билеты с первого до последнего и складывать числа номеров первый+последний, второй + предпоследний, третий + предпредпоследний и так далее, то получим, что

а) для четного числа мест

В сумме это всегда число последнего номера+1, а таких пар в два раза меньше, чем количество номеров мест

То есть, если х - это количество мест, то количество пар х/2, а сумма в каждой паре х+1.

Значит сумма всех чисел в номерах

(х+1) • (х/2) = (х^2+х) / 2

б) для нечетного числа мест

Пар получается х-1, в которых сумма чисел равна х, и остается непарное последнее число х.

Значит сумма чисел получается

[ (х-1) / 2]•х+х = (х^2+х) / 2

То есть в обоих случаях одинаковая сумма

Найдем примерное число номеров

(х^2+х) / 2=857

х^2+х=1714

х^2+х-1714=0

Уравнение имеет два корня: примерно 40 и примерно - 42 (этот корень нам не подходит, так как не может быть отрицательного количества мест)

Если количество мест 40, то сумма всех чисел в номерах мест:

(40^2 + 40) / 2 = (1600+40) / 2=1640/2=820

Тогда можно найти, на какое место был продан лишний билет:

857-820=37

Если количество мест 41, то сумма всех чисел в номерах мест:

(41^2 + 41) / 2 = (1681+41) / 2=1722/2=861

861>857, поэтому этот вариант нам не подходит

Если количество мест 39, то сумма всех чисел в номерах мест:

(39^2 + 39) / 2 = (1521+39/2=1560/2=780

Тогда можно найти, на какое место был продан лишний билет:

857-780=77, этот вариант не подходит, потому что для 39 мест не может быть места с номером 77

Итак, ответ: лишний билет был продан на 37 место