Пусть n натуральное число. какая цифра стоит сразу после запятой в десятичной записи числа sqrt (n^2+n) ? я знаю что 4 докажите.

запишем выражение в виде n*sqrt (1+1/n)

вспоминаем ряд Маклорена для функции sqrt (1+x) при |x|<1

наш пример удовлетворяет условию

sqrt (1+1/n) = 1+1/2n-1/8n^2+1/16n^3 ...

n*sqrt (1+1/n) = n+1/2-1/8n+1/16n^2 ...

остается показать что 1/8n+1/16n^2 + ... <0,1

1/8n10/8 n>=2

для n>=2 доказано. убедимся что свойство верно и для n=1

sqrt (1+1) = sqrt (2) = 1,4 ...