Докажите, что при любых целых а и б произведение аб (а^2-б^2) (4 а^2-б^2) делится на 30

Для этого нужно доказать, что оно делится на 2 и на 3.

Если n - чётное, то произведение четного числа на любое другое даёт всегда чётное, если n - нечётное, тогда в скобках величина 7n (нечетное на нечетное) будет нечетным, а 7n+1 - всегда четным. А произведение четной скобки на всё, что угодно даёт всегда четное. Делимость на 2 доказали.

Делимость на 3 докажем следующим образом. У нас 3 множителя. Поэтому будем поочереди подставлять натуральные числа вместо n и смотреть, какие будут получаться остатки от них при делении на 3. Если остаток 0, то делится

1: 1 0 2 - делится

2: 2 2 0 - делится

3: 0 1 1 - делится

4: 1 0 2 - делится

5: 2 2 0 - делится

3: 0 1 1 - делится

Нетрудно заметить, что начиная с n=4 идёт повтор. И так будет повторяться через каждые 3 строчки. Таким образом, в каждом наборе есть множитель, остаток от деления на 3 которого равен 0, то есть делится на 3.

А раз число делится на 2 и на 3, то оно делится и на 6 ...