Наибольшее значение функции f (x) = 2x^3-9x^2+12x на отрезке 0; 2 равно

f (x) = 2x³-9x²+12x

Найдём первую и вторую производные и определим экстремальные точки.

f' (x) = 6x²-18x+12

6x²-18x+12=0 = > x²-3x+2=0 = >

(x-2) (x-1) = 0

Экстремальные точки по первой производной - это точки локального максимума или минимума

x=2 и x=1

f" (x) = 12x-18

12x-18=0 x=3/2 это точка перегиба.

Определим области возрастания и уменьшения функции в интервалах

(-бесконечность; 1), (1; 3/2), (3/2; 2), (2; бесконечность)

Выберем из этих интервалов точки

0; 5/4; 7/4 и 3

Подставим их в 1 ю производную

1) f' (0) = 12 >0 функция возрастает

2) f' (5/4) = 6 (5/4) ²-18 (5/4) + 12=9,375-22,5+12=-1,125<0 функция убывает

3) f' (7/4) = 6 (7/4) ²-18 (7/4) + 12=18,375-31,5+12 = - 1, 125 <0 функция убывает

4) f' (3) = 6*3²-18*3+12=54-54+12=12 >0 функция возрастает

Таким образом, в заданном интервале [0; 2] в точке x=1 имеем локальный максимум. Ордината точки

y=f (1) = 5