Определите высоту правильной шестиугольной пирамиды, сторона основания которой равна a, а косинус двугранного угла при боковом ребре равен (-0,625)

Дана правильная шестиугольная пирамида, сторона основания которой равна a, а косинус двугранного угла φ при боковом ребре равен (-0,625) или (-5/8).

Угол φ равен arc cos (-0,625) = 2,24592786 радиан или

128,6821875 градуса.

Тангенс половины этого угла равен:

tg (φ/2) = √ ((1 - cos φ) / (1 + cosφ)) = √ (1 - (-5/8)) / (1 + (-5/8)) = √ (13/3).

Проведём короткую диагональ основания. Она равна а√3.

Середина её находится на середине половины длинной диагонали основания. Половина длинной диагонали основания - это радиус описанной окружности вокруг основания и равна стороне основания.

Из этой точки проведём перпендикуляр h к боковому ребру L.

h = ((a√3) / 2) / tg (φ/2) = ((a√3/2) / (√13/√3) = 3a/2√13.

Синус угла наклона бокового ребра к основанию равен:

sin α = h / (a/2) = (2*3a) / (2√13*a) = 3/√13.

Отсюда находим тангенс угла α:

tg α = sin α/√ (1 - sin²α) = 3/2 = 1,5.

Отсюда высота пирамиды равна H = a*tg α = 1,5a.