Петя задумал натуральное число, и высказал три утверждения:

а) Если к нему прибавить 51, то получится точный квадрат;

б) Последняя цифра числа - есть единица;

в) Если от числа отнять 38, то тоже получится точный квадрат

Известно, что из трех следующих утверждений два верны, а одно - неверно. Какое число задумал Петя?

Для числа Х:

а) Х + 51 = а²

б) Х = 10n + 1, где n - натуральное число

в) Х - 38 = в²

г) одно из утверждений неверно.

Решение.

1) Н а й д е м н е в е р н о е у т в е р ж д е н и е.

Наиболее просто проверяется б).

√ (10n+1+51) = √ (10m + 2) ; (m=n+5, число десятков в подкоренном выражении увеличивается). Но нет натурального числа, которое оканчивается на 2 и в то же время является квадратом натурального числа. Противоречие с а)

√ (10n+1 - 38) = √ (10m+3) ; (m = n-4). Натурального числа, квадрат которого оканчивается на 3 нет. Противоречие с в)

Значит, утверждение б) неверно. Тогда а) и в) - верны

2) И м е е м с и с т е м у у р а в н е н и й, р е ш и м е е:

1. {Х + 51 = а²

2. - {Х - 38 = в² вычтем из первого второе.

89 = а² - в² разложим разность квадратов и 89 на множители

(а-в) (а+в) = 1 * 89

Для натуральных а и в получаем:

{а - в = 1

{а + в = 89, решим данную систему сложением и вычитанием

2 а = 90; а = 45

2 в = 88, в = 44

3) В е р н е м с я к д а н н о м у в у с л о в и и у р а в н е н и ю д л я Х, п о д с т а в и в в н е г о з н а ч е н и е а² = 45² = 2025

Х + 51 = 2025

Х = 2025 - 51 = 1974

4) п р о в е р и м н а й д е н н о е ч и с л о, п о д с т а в и в в о в т о р о е у р а в н е н и е е г о и в ² = 44² = 1936

1974 - 38 = 1936

1936 = 1936

Ответ: Х = 1974