Докажите, что каждое натуральное число является разностью двух натуральных чисел, имеющих одинаковое количество простых делителей.

(Каждый простой делитель учитывается 1 раз, например, число 12 имеет два простых делителя: 2 и 3.)

Если данное число n - чётно, т. е. n = 2m, то искомыми числами будут k = 4m и l = 2m.

Пусть n - нечётно, p1, ..., ps - его простые делители и p - наименьшее нечетное простое число, не входящее во множество p1, ..., ps.

Тогда искомыми будут числа k = pn и l = (p - 1) n, так как, в силу выбора p, число p - 1 имеет своими делителями число 2, и, возможно, какие-то из чисел p1, ..., ps.