Найдите наибольшее возможное значение x+y, если x, y - натуральные числа, удовлетворяющие соотношению x3+y3+216=18xy.

X³ + y³ + 6³ = 3•6•x•y

Очевидно, что при х = у = 6 достигается равенство, т. к. при остальных значениях переменных правая часть будет больше левой, т. к. в правой части представлено среднее арифметическое, а в левой - среднее геометрическое, а как известно, среднее арифметическое больше среднего геометрического. Тогда при таких значениях х и у значение суммы будет наибольшим:

6³ + 6³ + 6³ = 3•6•6•6

3•6³ = 3•6³

Значит, у + х = 6 + 6 = 12.

Ответ: 12.