В треугольнике ABC проведённые медианы AN и BK пересекаются в точке M. Определи площадь треугольника ABC, если площадь треугольника BNM равна 10 см2

Решение:

SΔАВN=1/2SΔАВС (т. к. медиана AN делит ΔАВС на два равновеликих тр-ка).

BN=CN, у них h - общая.

Проведем АР⊥ВС, МR⊥ВС. ΔРNА и Δ RNМ - подобные.

АN относится к MN как AP относится к NR (АN:MN = AP:NR).

Точка М делит медианы от вершины на отрезки в соотношении 2:1 (АМ:MN), следовательно АN:MN=3:1.

AP - высота ΔВNA, NR - высота ΔВNМ (ВN - общее основание) и AP:NR=3:1.

SΔВNM=1/3*SΔВNA=1/3*1/2*ΔАВС=1/6*SΔ АВС,

SΔABC=6*SΔ ВNM=6*10=60.

Ответ: SΔABC=60.