На доске написано 1000 последовательных целых чисел (среди них могут быть и отрицательные). Назовем число хорошим, если сумма остальных 999 чисел (кроме него) является квадратом целого числа. Какое наибольшее количество хороших чисел может быть среди 1000 чисел на доске?

Рассмотрите такое решение, при альтернативе воспользуйтесь лучшим:

1) подряд любых 1000 чисел образуют арифметическую прогрессию с разностью 1;

2) с другой стороны, согласно свойствам квадратичной функции (если брать у части таковой интервалы по 1000), наибольшая плотность квадратов сосредоточена в области начала координат, то есть О (0; 0), также квадрат всякого целого числа кроме 0 есть число натуральное.

3) учитывая пп.№1 и 2 делаем вывод, что прогрессия должна в сумме давать число, не превышающее 1000, которая без наибольшего по модулю члена даёт результат, близкий к 0, а без наименьшего - близкий к 1000. Также как можно больше результатов должны быть натуральными числами.

4) требованию пп.№3 удовлетворяют две прогресси: а) - 500, - 499, - 498, ...,498, 499 и б) - 499, - 498, - 497, ..., 498, 499, 500.

первый числовой ряд в сумме даёт (-500), без числа 499 даёт (-999), а без числа (-500) - 0. "Хороших" чисел в диапазоне [-999; 0] одно. Это 0.

второй ряд в сумме даёт 500, без числа 500 даёт 0, без числа (-499) - 999. "Хороших" чисел в диапазоне [0; 999] 32 (это числа от 0² до 31²).

Остальные ряды дают гораздо меньшее количество таких чисел, ибо согласно пп.№2 далеко отстоят от О (0; 0).

Ответ: 32.