Напишите уравнение окружности, симметричной относительно точки А (-2; 3) окружности, заданной уравнением х2 + у2 + 6 х - 4 у = 0.

1. Точка А (-2; 3) симметрична точке А1 (6; -9) относительно точки В. Найдите координаты точки В.

Это середина AA1; B (2; -3).

2. Дан треугольник АВС с вершинами А (2; 1), В (-6; 1), С (-1; 5). Треугольник А1 В1 С1 симметричен треугольнику АВС относительно прямой, заданной уравнением х=1. Найдите координаты вершин А1 В1 С1.

Так как ось симметрии прямая х=1 параллельна оси OY, то Y координаты вершин А1 В1 С1, будут соответственно равны Y координатам вершин А В С. Координаты по X вычислим так:

A1x = 2 - Ax = 0;

B1x = 2 - Bx = 8;

C1x = 2 - Cx = 3;

A1 (0; 1) ; B1 (8; 1) ; C1 (3; 5) ;

3. Найдите вектор a параллельного переноса, при котором прямая у=3 х-2 переходит в прямую у=3 х+4, а прямая 3 х+2 у=2 переходит в прямую 6 х+4 у=3.

Вектор, исходящий из точки пересечения прямых до переноса, и заканчивающийся в точке пересечения прямых после переноса, будет вектор параллельного переноса.

найдём точку пересечения прямых до переноса:

y=3x-2;

3x+2y=2;

точка (2/3; 0)

найдём точку пересечения прямых после переноса:

y=3x+4;

6x+4y=3;

точка (-13/18; 11/6)

вектор a: {-13/18 - 2/3; 11/6-0}

a {-25/18; 11/6}

4. В результате поворота вокруг точки В (1; 2) на 60 гр. против часовой стрелки точка А (4; 2) перешла в точку А1. Найдите координаты этой точки.

Если между векторами одинаковой длины угол 60°, то проекция одного вектора на другой будет половина этой длины.

А это значит, что прямая, перпендикулярная BA, и проходящая через середину BA, будет проходить и через точку A1. Но известно, что точка A1 лежит на окружности с центром в точке B и радиусом |BA|

Одно из решений системы уравнений прямой и окружности даст координаты точки A1.

Находим координаты точки D - середины AB.

D (2.5; 2) ;

угловой коэффициент прямой AB: k = (2-2) / (4-1) = 0; AB параллельна оси OX;

(DA1 ┴ AB) ; т. к. AB параллельна оси OX, то DA1 параллельна оси OY;

уравнение прямой DA1: x = 2.5; X координата точки A1 будет 2.5;

Находим уравнение окружности:

радиус |BA|;

|BA|² = (1-4) ² + (2-2) ² = 9;

уравнение окружности: (x-1) ² + (y-2) ²=9;

Решаем систему:

{x = 2.5;

{ (x-1) ² + (y-2) ²=9;

y = 2 ± 3√3 / 2; но если поворот был против часовой стрелки, то надо взять бОльшую координату Y:

y = 2+3√3 / 2 ≈ 4.6;

координаты точки A1:

A1 (2.5; 2+3√3 / 2) ;