При каких а, принадлежащих (0; П), уравнение (2x+a+1-tgx) ^2 = (2x+a-1+tgx) ^2 имеет единственное решение.

(2x + a+1 - tg x) ^2 = (2x + a-1 + tg x) ^2

Раскрываем скобки

4x^2 + (a+1) ^2 + tg^2 x + 2*2x * (a+1) - 2*2x*tg x - 2 * (a+1) * tg x =

= 4x^2 + (a-1) ^2 + tg^2 x + 2*2x * (a-1) + 2*2x*tg x + 2 * (a-1) * tg x

Приводим подобные

(a+1) ^2 + 4x * (a+1) - 4x*tg x - 2a*tg x = (a-1) ^2 + 4x * (a-1) + 4x*tg x + 2a*tg x

Дальше раскрываем скобки

a^2+2a+1+4ax+4x - (4x+2a) * tg x = a^2-2a+1+4ax-4x + (4x+2a) * tg x

И опять приводим подобные

4a + 8x = (8x + 4a) * tg x

Делим всё на 4

a + 2x = (a + 2x) * tg x

При a + 2x = / = 0 можно сократить.

1 = tg x

x = pi/4 + pi*k - единственное решение.

Решение будет не единственным, если a + 2x = 0, то есть а зависит от х.

Ответ: решение единственно при любом а, не равном - 2x.

Определить а, как конкретное число, невозможно.