Сколько существует 2015-значных чисел таких, что любое двузначное число, образованное парами соседних цифр, делится на 17 или на 23?

Считаем.

Сначала выпишем все 2-х значные числа, которые делятся на 17 и на 23.

На 17: 17, 34, 51, 68, 85.

На 23: 23, 46, 69, 92.

Начнем составлять возможные концовки чисел:

6

68

685

6851

68517 - дальше никакую цифру всунуть нельзя.

6 - такое уже было.

69

692

6923

69234

692346 - но это то же самое, что просто 6, т. к., если двигаться влево, то мы получим последовательность из цифр ... 692346923469234 ... до нужного нам кол-ва.

И того получается, что у нас выйдут такие числа.

... 69234692346

... 692346923468

... 6923469234685

... 69234692346851

... 692346923468517

... 692346923469

... 6923469234692

... 69234692346923

... 692346923469234

9 чисел. Кстати, тут неважно 2013-значное оно или какое-то другое. Одинаковое кол-во получится и с 5-значным и с 1000000-значным.