Факториалом натурального числа n называется число n!=12 ... * n. Какой из ста множителей нужно зачеркнуть в произведении 1!2!3! * ... * 99!*100! так, чтобы произведение оставшихся оказалось квадратом целого числа?

Question

Математика

Розалия

9 июня, 18:14

Факториалом натурального числа n называется число n!=12 ... * n. Какой из ста множителей нужно зачеркнуть в произведении 1!2!3! * ... * 99!*100! так, чтобы произведение оставшихся оказалось квадратом целого числа?

+4

Ответы (1)

Знаете ответ?

Роза · Answer 1

Надо зачеркнуть 50!

1!·2!·3!·4!·5!·6!· ... ·97!·98!·99!·100!=

=1·2· (3!) ²·4· (5!) ²·6· ... · (97!) ²·98· (99!) ²·100 = (3!·5!· ... 97!·99!) ²·2·4·6· ... 98·100=

= (3!·5!· ... 97!·99!) ²·2⁵⁰· (1·2·3· ... 49·50) =

= (2²⁵·3!·5!· ... 97!·99!) ²· (50!)