Докажите что при любом натуральном n число 17^{n} - 2^{2n}+16^{n} - 3^{4n} кратно 13

Выражение можно переписать так: (17^n-4^n) - (81^n-16^n)

Достаточно доказать, что выражения в скобках делятся на 13.

Докажем следующее утверждение: Если (а-b) делится на m, то и (a^n-b^n) делится на м. Для n=1 это очевидно. Пусть это верно для n=p,

покажем, что это верно для n=p+1.

В самом деле: D = (а^ (p+1) - b^ (p+1)) = a^ (p) * a-b^ (p) * b.

Но а=k*m+b для некоторого k

D=b*a^p+k*m*a^p-b*b^p=b * (a^p-b^p) + k*m

Оба слагаемых на m делятся, что и доказывает наше утверждение.

В исходном выражении два слагаемых делятся на 13 так как

17-4=13 и 81-16=13*5.

Утверждение доказано.