В треугольникеABC угол A=90°, угол B равен 30°, AB=6. Найдите площадь треугольника.

Треугольник АВС - прямоугольный (уг. А=90°) :

АВ и АС - катеты

ВС - гипотенуза

уг. С = 90 - 30 = 60°

Катет лежащий против угла в 30 ° равен половине гипотенузы:

АС = ВС / 2 ⇒ ВС = 2 АС

Пусть АС = х

Теорема Пифагора:

(2 х) ² = 6² + х²

4 х² - х² = 36

3 х²=36

х² = 36/3

х²=12

х=√12 = 2√3

х₁ = - 2√3 - не удовл.

х₂ = 2√3 ⇒ АС = 2√3; ВС = 2*2√3 = 4√3

По формуле Герона:

S = √ (р (р-АВ) (р-ВС) (р-АС))

р = (6+2√3+4√3) / 2 = (6+6√3) / 2 = 3+3√3

S = √ ((3+3√3) (3+3√3-6) (3+3√3-4√3) (3+3√3-2√3)) =

= √ ((3+3√3) (-3+3√3) (3-√3) (3+√3)) =

= √ (((3√3) ² - 3²) (3² - (√3) ²)) =

= √ (27-9) (9-3) = √ (18*6) = √ (3*6*6) = 6√3

Ответ: S = 6√3