Доказать, что если сумма двух величин постоянна, то их произведение максимально тогда и только тогда когда эти величины принимают равные значения. (Это утверждение является обобщением теоремы о постоянной сумме на случай любых, а не только положительных)

Пусть заданы две переменные величины x и y, связанные зависимостью x+y=a, где a - некоторое постоянное число. Тогда произведение этих чисел равно x*y=x * (a-x). Рассмотрим функцию f (x) = x * (a-x). Найдем x, при котором эта функция принимает максимальное значение.

f (x) = a*x-x²

f' (x) = a-2x

Нули производной: a-2x=0 = > x=a/2.

При x 0 = > функция возрастает

При x > a/2: f' (x) функция убывает

Следовательно, точка x=a/2 - точка максимума функции f (x).

Соответственно, при x=a/2 y = a-a/2=a/2. Отсюда следует, что максимум произведения x*y достигается при x=y=a/2.