с6. Дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2011, а разность равна 11. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили также идействовали так до тех пор, пока не получилась последовательность однозначных чисел.

а) найдите тысячное число получившейся последовательности.

б) найдите сумму первых тысячи чисел получившейся последовательности

в) чему может равняться наибольшая сумма 1010 чисел получившеся последовательности, идущих подряд?

а) Тысячное число исходной прогрессии равно а (1000) = а (1) + d*999=2011+11*999=13000.

Значит искомое число: 1+3=4.

б) Свойство делимости на 9:

1) Число имеет такой же остаток от деления на 9 как и сумма его цифр, деленная на 9.

2) Сумма чисел имеет такой же остаток от деления на 9 как остаток от делении суммы остатков этих чисел на 9.

Звучит жутко) Но выглядит так:

a / 9 = b*c + r1

d / 9 = e*f + r2

(a+d) / 9 = m*n + r3

(r1+r2) / 9 = p*q + r3. Так надеюсь понятно.

Вернемся к задаче:

2011 mod9 = 4

11 mod9 = 2

(2+4) mod9 = 6

(6+2) mod9 = 8

(8+2) mod9 = 1

(1+2) mod9 = 3

(3+2) mod9 = 5

(5+2) mod9 = 7

(7+2) mod9 = 0 или (что тоже самое) = 9

(9+2) mod9 = 2

(2+2) mod9 = 4

(4+2) mod9 = 6

и так далее.

...

Значит получившаяся последовательность переодична с периодом. 9:

Сумма первых 9 членов: 2+4+6+8+1+3+5+7+9=45.

Значит сумма 999 членов равна 111*45 = 4995

Сумма первых тысячи равна 4995+4 = 5001

в) для наибольшей суммы нам надо взять 112*45 (это 1008 чисел) + 7 + 9 = 5056.

Выглядит как-то так: 7 + 112 * (9+2+4+6+8+1+3+5+7) + 9 = 5056.

Надеюсь из-за позднего времени суток не ошибся и все верно)