Докажите, что если сумма (х в квадрате + у в квадрате) делится на 3 и х, у - целые, то х и у делятся на 3

Решаем от обратного: предположим, что х и у не делятся на 3. Тогда

их можно представить в виде:

х=3 к+1 и у = 3 м+1 или х=3 к+2, у=3 м+2

. Рассмотрим 1 вариант:

(3 к+1) ² + (3 м+1) ² = 9 к²+3 к+1+9 м²+3 м+1=9 к²+9 м²+3 к+3 м+2

Полученная сумма не делится на 3, т. к в ней присутствует слагаемое 2, которое на 3 не делится. Следовательно, предположение не верно.

Аналогично со 2 вариантом.