Проинтегрировать дифференциальное уравнение и найти интегральную прямую проходящую через точку (-1; 0)

(1 + (y/x) ^2) dx + (2y/x) dy=0

Хочется рассматривать вместо y (x) функцию v (x) = y (x) / x

y' = (x v) ' = xv' + v

(1 + v^2) + 2v (xv' + v) = 0

2vx v' + (1 + 3v^2) = 0 - уравнение с разделяющимися переменными

2v dv / (1 + 3v^2) = - dx / x

ln (1 + 3v^2) = - 3ln|x| + ln |C|

x^3 * (1 + 3v^2) = C

x^3 * (1 + 3y^2/x^2) = C

Постоянная C находится из начального условия:

(-1) ^3 * (1 + 0) = C

C = - 1

x^3 * (1 + 3y^2/x^2) = - 1

Отсюда в принципе можно выразить y:

x^3 + 3x y^2 = - 1

y^2 = (-1 - x^3) / 3x

y = + - sqrt ((-1 - x^3) / 3x))

- Можно решать это уравнение как уравнение Бернулли, тогда можно домножить на x и сделать замену v = y^2.

- Можно домножить на интегрирующий множитель x^2 и получить уравнение в полных дифференциалах.