При каких значениях с графики функции y = (c-1) x^2+2x+1 и y=-2x^2-2cx-7 имеют ровно одну общую точку?

Одна общая точка - это точка пересечения графиков - одинаковая ордината для обоих.

Приравниваем правые части, получаем:

сх^2-x^2+2x+1=-2x^2-2cx-7

(c+1) x^2+2 (c+1) x+8=0

D = 0 условие единственности точки

Д = 4 (с+1) ^2 - 32 (c+1) = 0

4c2+8c+4-32c-32=0

4c2-24c-28=0

D = 576+4*4*28=128

c (1) = (24+корень из 128) / 8=3+корень из 2

с (2) = (24-корень из 128) / 8 = 3 - корень из 2